看一遍就理解:动态规划详解

分享于2021年05月09日 动态 理解 规划 详解
前言我们刷leetcode的时候,经常会遇到动态规划类型题目。动态规划问题非常非常经典,也很有技巧性,一般大厂都非常喜欢问。今天跟大家一起来学习动态规划的套路,文章如果有不正确的地方,欢迎大家指出哈,感谢感谢~什么是动态规划?动态规划的核心思想一个例子走进动态规划动态规划的解题套路leetcode案例分析公众号:捡田螺的小男孩什么是动态规划?动态规划(英语:Dynamic programming,简称 DP),是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。★dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.”以上定义来自维基百科,看定义感觉还是有点抽象。简单来说,动态规划其实就是,给定一个问题,我们把它拆成一个个子问题,直到子问题可以直接解决。然后呢,把子问题答案保存起来,以减少重复计算。再根据子问题答案反推,得出原问题解的一种方法。★一般这些子问题很相似,可以通过函数关系式递推出来。然后呢,动态规划就致力于解决每个子问题一次,减少重复计算,比如斐波那契数列就可以看做入门级的经典动态规划问题。”动态规划核心思想动态规划最核心的思想,就在于拆分子问题,记住过往,减少重复计算。动态规划在于记住过往我们来看下,网上比较流行的一个例子:★A :"1+1+1+1+1+1+1+1 =?"A :"上面等式的值是多少"B :计算 "8"A :  在上面等式的左边写上 "1+" 呢?A : "此时等式的值为多少"B :  很快得出答案 "9"A : "你怎么这么快就知道答案了"A : "只要在8的基础上加1就行了"A : "所以你不用重新计算,因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"”一个例子带你走进动态规划 -- 青蛙跳阶问题暴力递归★leetcode原题:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。”有些小伙伴第一次见这个题的时候,可能会有点蒙圈,不知道怎么解决。其实可以试想:★要想跳到第10级台阶,要么是先跳到第9级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级,然后一次迈2级台阶上去。同理,要想跳到第9级台阶,要么是先跳到第8级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级,然后一次迈2级台阶上去。要想跳到第8级台阶,要么是先跳到第7级,然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级,然后一次迈2级台阶上去。”假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n),很显然就可以得出以下公式:f(10) = f(9)+f(8)f (9)  = f(8) + f(7)f (8)  = f(7) + f(6)...f(3) = f(2) + f(1)即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢?当只有2级台阶时,有两种跳法,第一种是直接跳两级,第二种是先跳一级,然后再跳一级。即f(2) = 2;当只有1级台阶时,只有一种跳法,即f(1)= 1;因此可以用递归去解决这个问题:class Solution {    public int numWays(int n) {    if(n == 1){        return 1;    }     if(n == 2){        return 2;    }    return numWays(n-1) + numWays(n-2);    }}去leetcode提交一下,发现有问题,超出时间限制了为什么超时了呢?递归耗时在哪里呢?先画出递归树看看:要计算原问题 f(10),就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)然后要计算 f(9),又要先算出子问题 f(8) 和 f(7),以此类推。一直到 f(2) 和 f(1),递归树才终止。我们先来看看这个递归的时间复杂度吧:递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数一个子问题时间 =  f(n-1)+f(n-2),也就是一个加法的操作,所以复杂度是 O(1);问题个数 = 递归树节点的总数,递归树的总节点 = 2^n-1,所以是复杂度O(2^n)。因此,青蛙跳阶,递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) =  O(2^n),就是指数级别的,爆炸增长的,如果n比较大的话,超时很正常的了。回过头来,你仔细观察这颗递归树,你会发现存在大量重复计算,比如f(8)被计算了两次,f(7)被重复计算了3次...所以这个递归算法低效的原因,就是存在大量的重复计算!既然存在大量重复计算,那么我们可以先把计算好的答案存下来,即造一个备忘录,等到下次需要的话,先去备忘录查一下,如果有,就直接取就好了,备忘录没有才开始计算,那就可以省去重新重复计算的耗时啦!这就是带备忘录的解法。带备忘录的递归解法(自顶向下)一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。第一步,f(10)= f(9) + f(8),f(9) 和f(8)都需要计算出来,然后再加到备忘录中,如下:第二步,  f(9) = f(8)+ f(7),f(8)= f(7)+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦,所以可以省掉,f(7),f(6)都需要计算出来,加到备忘录中~第三步, f(8) = f(7)+ f(6),发现f(8),f(7),f(6)全部都在备忘录上了,所以都可以剪掉。所以呢,用了备忘录递归算法,递归树变成光秃秃的树干咯,如下:带备忘录的递归算法,子问题个数=树节点数=n,解决一个子问题还是O(1),所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢,我们用带备忘录的递归算法去撸代码,解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~,代码如下:public class Solution {    //使用哈希map,充当备忘录的作用    Map tempMap = new HashMap();    public int numWays(int n) {        // n = 0 也算1种        if (n == 0) {            return 1;        }        if (n <= 2) {            return n;        }        //先判断有没计算过,即看看备忘录有没有        if (tempMap.containsKey(n)) {            //备忘录有,即计算过,直接返回            return tempMap.get(n);        } else {            // 备忘录没有,即没有计算过,执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中,对1000000007取余(这个是leetcode题目规定的)            tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);            return tempMap.get(n);        }    }}去leetcode提交一下,如图,稳了:其实,还可以用动态规划解决这道题。自底向上的动态规划动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的,都是减少重复计算,时间复杂度也都是差不多。但是呢:带备忘录的递归,是从f(10)往f(1)方向延伸求解的,所以也称为自顶向下的解法。动态规划从较小问题的解,由交叠性质,逐步决策出较大问题的解,它是从f(1)往f(10)方向,往上推求解,所以称为自底向上的解法。动态规划有几个典型特征,最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中:f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构f(n)= f(n-1)+f(n-2)就称为状态转移方程f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。我们来看下自底向上的解法,从f(1)往f(10)方向,想想是不是直接一个for循环就可以解决啦,如下:带备忘录的递归解法,空间复杂度是O(n),但是呢,仔细观察上图,可以发现,f(n)只依赖前面两个数,所以只需要两个变量a和b来存储,就可以满足需求了,因此空间复杂度是O(1)就可以啦动态规划实现代码如下:public class Solution {    public int numWays(int n) {        if (n<= 1) {            return 1;        }        if (n == 2) {            return 2;        }        int a = 1;        int b = 2;        int temp = 0;        for (int i = 3; i <= n; i++) {            temp = (a + b)% 1000000007;            a = b;            b = temp;        }        return temp;    }    }动态规划的解题套路什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢?★如果一个问题,可以把所有可能的答案穷举出来,并且穷举出来后,发现存在重叠子问题,就可以考虑使用动态规划。”比如一些求最值的场景,如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等,都是动态规划的经典应用场景。动态规划的解题思路动态规划的核心思想就是拆分子问题,记住过往,减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的,因此到这里,基于青蛙跳阶问题,我总结了一下我做动态规划的思路:穷举分析确定边界找出规律,确定最优子结构写出状态转移方程1. 穷举分析当台阶数是1的时候,有一种跳法,f(1) =1当只有2级台阶时,有两种跳法,第一种是直接跳两级,第二种是先跳一级,然后再跳一级。即f(2) = 2;当台阶是3级时,想跳到第3级台阶,要么是先跳到第2级,然后再跳1级台阶上去,要么是先跳到第 1级,然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3当台阶是4级时,想跳到第3级台阶,要么是先跳到第3级,然后再跳1级台阶上去,要么是先跳到第 2级,然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5当台阶是5级时......自底向上的动态规划2. 确定边界通过穷举分析,我们发现,当台阶数是1的时候或者2的时候,可以明确知道青蛙跳法。f(1) =1,f(2) = 2,当台阶n>=3时,已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3,因此f(1) =1,f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。3. 找规律,确定最优子结构n>=3时,已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ,因此,f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构?有这么一个解释:★一道动态规划问题,其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质”4, 写出状态转移方程通过前面3步,穷举分析,确定边界,最优子结构,我们就可以得出状态转移方程啦:5. 代码实现我们实现代码的时候,一般注意从底往上遍历哈,然后关注下边界情况,空间复杂度,也就差不多啦。动态规划有个框架的,大家实现的时候,可以考虑适当参考一下:dp[0][0][...] = 边界值for(状态1 :所有状态1的值){    for(状态2 :所有状态2的值){        for(...){          //状态转移方程          dp[状态1][状态2][...] = 求最值        }    }}leetcode案例分析我们一起来分析一道经典leetcode题目吧★给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。”示例 1:输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]输出:4解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。示例 2:输入:nums = [0,1,0,3,2,3]输出:4我们按照以上动态规划的解题思路,穷举分析确定边界找规律,确定最优子结构状态转移方程1.穷举分析因为动态规划,核心思想包括拆分子问题,记住过往,减少重复计算。 所以我们在思考原问题:数组num[i]的最长递增子序列长度时,可以思考下相关子问题,比如原问题是否跟子问题num[i-1]的最长递增子序列长度有关呢?自底向上的穷举这里观察规律,显然是有关系的,我们还是遵循动态规划自底向上的原则,基于示例1的数据,从数组只有一个元素开始分析。当nums只有一个元素10时,最长递增子序列是[10],长度是1.当nums需要加入一个元素9时,最长递增子序列是[10]或者[9],长度是1。当nums再加入一个元素2时,最长递增子序列是[10]或者[9]或者[2],长度是1。当nums再加入一个元素5时,最长递增子序列是[2,5],长度是2。当nums再加入一个元素3时,最长递增子序列是[2,5]或者[2,3],长度是2。当nums再加入一个元素7时,,最长递增子序列是[2,5,7]或者[2,3,7],长度是3。当nums再加入一个元素101时,最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101],长度是4。当nums再加入一个元素18时,最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4。当nums再加入一个元素7时,最长递增子序列是[2,5,7,101]或者[2,3,7,101]或者[2,5,7,18]或者[2,3,7,18],长度是4.分析找规律,拆分子问题通过上面分析,我们可以发现一个规律:如果新加入一个元素nums[i], 最长递增子序列要么是以nums[i]结尾的递增子序列,要么就是nums[i-1]的最长递增子序列。看到这个,是不是很开心,nums[i]的最长递增子序列已经跟子问题 nums[i-1]的最长递增子序列有关联了。原问题数组nums[i]的最长递增子序列 = 子问题数组nums[i-1]的最长递增子序列/nums[i]结尾的最长递增子序列是不是感觉成功了一半呢?但是如何把nums[i]结尾的递增子序列也转化为对应的子问题呢?要是nums[i]结尾的递增子序列也跟nums[i-1]的最长递增子序列有关就好了。又或者nums[i]结尾的最长递增子序列,跟前面子问题num[j](0=num[j]的话,则有:dp(i) =max(dp(j))+1,最简单的边界情况当nums数组只有一个元素时,最长递增子序列的长度dp(1)=1,当nums数组有两个元素时,dp(2) =2或者1,
因此边界就是dp(1)=1。确定最优子结构从穷举分析,我们可以得出,以下的最优结构:dp(i) =max(dp(j))+1,存在j属于区间[0,i-1],并且num[i]>num[j]。max(dp(j)) 就是最优子结构。状态转移方程通过前面分析,我们就可以得出状态转移方程啦:所以数组nums[i]的最长递增子序列就是:最长递增子序列 =max(dp[i])代码实现class Solution {    public int lengthOfLIS(int[] nums) {        if (nums.length == 0) {            return 0;        }        int[] dp = new int[nums.length];        //初始化就是边界情况        dp[0] = 1;        int maxans = 1;        //自底向上遍历        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {            dp[i] = 1;            //从下标0到i遍历            for (int j = 0; j < i; j++) {                //找到前面比nums[i]小的数nums[j],即有dp[i]= dp[j]+1                if (nums[j] < nums[i]) {                    //因为会有多个小于nums[i]的数,也就是会存在多种组合了嘛,我们就取最大放到dp[i]                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);                }            }            //求出dp[i]后,dp最大那个就是nums的最长递增子序列啦            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);        }        return maxans;    }}喜欢文章,点个在看